Question 1: Evaluate:

i) $3 \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 \\ -6 \end{bmatrix}$

ii) $7 \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 14 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$

iii) $2 \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & -3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 4 & -6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 9 & -6 \end{bmatrix}$

iv) $6 \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} - 2 \begin{bmatrix} -8 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 \\ 12 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -16 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 34 \\ -14 \end{bmatrix}$

$\\$

Question 2: Find $x \ and \ y$ if

i) $3 \begin{bmatrix} 4 & x \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} y & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 0 \end{bmatrix}$

ii) $x \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} -4 \begin{bmatrix} -2 \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ -8 \end{bmatrix}$

i) $3 \begin{bmatrix} 4 & x \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} y & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 0 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} 12 & 3x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2y & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 0 \end{bmatrix}$

Therefore

$12+2y = \ 10 \ or y = -1$

$3x-6=0 \ or \ x = 2$

ii) $x \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} -4 \begin{bmatrix} -2 \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ -8 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -x \\ 2x \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -8 \\ 4y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ -8 \end{bmatrix}$

Therefore

$-x+8 = 7 \ or \ x = 1$

$2x-4y = -8 \ or \ y = 10$

$\\$

Question 3: Given $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$$B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}$$C = \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$, Find:

i)  $2A-3B+C$

ii)  $A+2C-B$

i)  $2A-3B+C$

$2 \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 6 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 15 & 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -9 & -6 \end{bmatrix}$

ii)  $A+2C-B$

$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -6 & -2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ -2 & -2 \end{bmatrix}$

$\\$

Question 4: If  $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} +3A = \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}$, Find $A$

$\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} +3A = \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow 3A = \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 4 & 0 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow 3A = \begin{bmatrix} -6 & 0 \\ -3 & -3 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow A = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$

$\\$

Question 5: Given $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$,  $B = \begin{bmatrix} -4 & -1 \\ -3 & -2 \end{bmatrix}$, Find

i) $2A+B$

ii) Matrix $C$ such that $C+B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

i) $2A+B$

$\Rightarrow 2 \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -4 & -1 \\ -3 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 7 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$

ii) $C+B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

$C = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 & -1 \\ -3 & -2 \end{bmatrix}$

$C = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$

$\\$

Question 6: If $2 \begin{bmatrix} 3 & x \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ y & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} z & -7 \\ 15 & 8 \end{bmatrix}$, Find the value of $x, \ y, \ and \ z$.

$2 \begin{bmatrix} 3 & x \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ y & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} z & -7 \\ 15 & 8 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} 6 & 2x \\ 0 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 3y & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} z & -7 \\ 15 & 8 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} 9 & 2x+9 \\ 3y & 8 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} z & -7 \\ 15 & 8 \end{bmatrix}$

Therefore

$z=9$

$2x+9 = -7 \ or \ x = -8$

$3y = 15 \ or \ y = 5$

$\\$

Question 7: Given $A = \begin{bmatrix} -3 & 6 \\ 0 & -9 \end{bmatrix}$ and $A^t$ is the transpose matrix. Find:

i) $2A + 3A^t$

ii) $2A^t-3A$

iii) $\frac{1}{2} A - \frac{1}{3}A^t$

iv) $A^t - \frac{1}{3}A$

If $A = \begin{bmatrix} -3 & 6 \\ 0 & -9 \end{bmatrix}$

Then $A^t = \begin{bmatrix} -3 & 0 \\ 6 & -9 \end{bmatrix}$

i) $2A + 3A^t$

$2 \begin{bmatrix} -3 & 6 \\ 0 & -9 \end{bmatrix} +3 \begin{bmatrix} -3 & 0 \\ 6 & -9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -15 & 12 \\ 18 & -45 \end{bmatrix}$

ii) $2A^t-3A$

$2 \begin{bmatrix} -3 & 0 \\ 6 & -9 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} -3 & 6 \\ 0 & -9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -18 \\ 12 & 9 \end{bmatrix}$

iii) $\frac{1}{2} A - \frac{1}{3}A^t$

$\frac{1}{2}\begin{bmatrix} -3 & 6 \\ 0 & -9 \end{bmatrix} - \frac{1}{3}\begin{bmatrix} -3 & 0 \\ 6 & -9 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & 3 \\ -2 & -\frac{3}{2} \end{bmatrix}$

iv) $A^t - \frac{1}{3}A$

$\begin{bmatrix} -3 & 0 \\ 6 & -9 \end{bmatrix}-\frac{1}{3} \begin{bmatrix} -3 & 6 \\ 0 & -9 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ 6 & -6 \end{bmatrix}$

$\\$

Question 8: Given $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}$ and $B = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$. Solve for

i) $X+2A=B$

ii) $3X+B+2A=0$

iii) $3A-2X=X-2B$

i)     $X+2A=B$

$X = B-2A$

$X= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}-2 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$

ii)    $3X+B+2A=0$

$X = \frac{-1}{3}(B+2A)$

$X = \frac{-1}{3}(\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}+2\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} \frac{4}{3} & \frac{1}{3} \\ -1 & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$

iii)   $3A-2X=X-2B$

$X = \frac{1}{3} (3A+2B)$

$X = \frac{1}{3} (3\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{bmatrix} +2\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} \frac{-7}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{-4}{3} & \frac{2}{3} \end{bmatrix}$

$\\$

Question 9: If $M = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$  and  $N = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, show that $3M+5N=\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix}$

$3M+5N=3\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} +5\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix}$

Hence proved.

Question 10: If $I$ is the unit matrix of order $2 \times 2$, find the matrix $M$ such that

i) $M-2I= 3\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$

ii) $5M+3I= 4\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}$

Given $I$ is a unit matrix of order $2 \times 2$, we have

$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

i)  $M = 2\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 12 & 5 \end{bmatrix}$

ii) $M= \frac{1}{5} (-3\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + 4\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}) =\begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}$

$\\$

Question 11. If $\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} +2M = 3 \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}$, find the matrix $M$

$2M =3 \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$
$2M =\begin{bmatrix} 9 & 6 \\ 0 & -9 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 2 \\ 2 & -12 \end{bmatrix}$
Therefore $M =\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & -6 \end{bmatrix}$
$\\$