Click Here: Books for ICSE Class 10 Board Exams

Question 1: Find x \ and \  y , if   \begin{bmatrix}  3 & -2 \\ -1 & 4  \end{bmatrix}.\begin{bmatrix}  2x  \\ 1   \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix}  -4  \\ 5   \end{bmatrix}=4 \begin{bmatrix}  2  \\ y   \end{bmatrix}         [2003]

Answer:

\begin{bmatrix}  3 & -2 \\ -1 & 4  \end{bmatrix}.\begin{bmatrix}  2x  \\ 1   \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix}  -4  \\ 5   \end{bmatrix}=4 \begin{bmatrix}  2  \\ y   \end{bmatrix}  

\begin{bmatrix}  6x-2 \\ -2x+4  \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}  -8  \\ 10   \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}  8  \\ 4y   \end{bmatrix}  

Therefore

6x-10=8 \Rightarrow x = 3  

and -2x+14=4y \Rightarrow y = 2  

Hence x = 3 \ and \ y = 2.   

\\

Question 2: Find x \ and \   y  if: \begin{bmatrix}  3x  & 8   \end{bmatrix} . \begin{bmatrix}  1 & 4 \\ 3 & 7  \end{bmatrix}-3 \begin{bmatrix}  2  & -7   \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix}  3  & 2y   \end{bmatrix}  

Answer:

\begin{bmatrix}  3x  & 8   \end{bmatrix} . \begin{bmatrix}  1 & 4 \\ 3 & 7  \end{bmatrix}-3 \begin{bmatrix}  2  & -7   \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix}  3  & 2y   \end{bmatrix}  

\begin{bmatrix}  3x+24  & 12x+56  \end{bmatrix} -  \begin{bmatrix}  6  & -21   \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}  15  & 10y   \end{bmatrix}  

\begin{bmatrix}  3x+18  & 12x+77   \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}  15  & 10y   \end{bmatrix}  

Therefore

3x+18 = 15 \Rightarrow x = -1  

and 12x+77=10y \Rightarrow y = 6.5  

\\

Question 3: If  \begin{bmatrix}  x  & y   \end{bmatrix} . \begin{bmatrix}  x  \\ y   \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}  25     \end{bmatrix}  and  \begin{bmatrix}  -x  & y   \end{bmatrix} . \begin{bmatrix}  2x  \\ y   \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}  -2     \end{bmatrix}  find the value of x \ and \ y  if i) x, y are whole numbers ii) x, \ y   are integers.

Answer:

\begin{bmatrix}  x  & y   \end{bmatrix} . \begin{bmatrix}  x  \\ y   \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}  25     \end{bmatrix}

 \Rightarrow x^2+y^2 = 25   … … … … … … i)

\begin{bmatrix}  -x  & y   \end{bmatrix} . \begin{bmatrix}  2x  \\ y   \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}  -2     \end{bmatrix}

 \Rightarrow -2x^2+y^2 = -2    … … … … … … ii)

Multiplying i) by 2 and adding it to ii) we get

 y^2 = 16 \Rightarrow y = \pm 4  

If  y = 4, x = 3 \ or\  -3  

Similarly, if  y = -4, x = 3 \ or \ -3  

Hence if  x \ and \ y   are whole numbers, then  x = 3, \ and \ y = 4   .

If  x \ and\  y   are Integers, then  x \pm 3 \ and \ y = \pm 4   .

\\

Question 4: Given \begin{bmatrix}  2 & 1 \\ -3 & 4  \end{bmatrix} . X =  \begin{bmatrix}  7  \\ 6   \end{bmatrix} , find: i) the order of matrix X ii) the matrix X   [2012]

Answer:

\begin{bmatrix}  2 & 1 \\ -3 & 4  \end{bmatrix} . X =  \begin{bmatrix}  7  \\ 6   \end{bmatrix}

A_{2 \times 2} . X_{p \times q} = B_{2 \times 1}

Therefore p = 2 \ and \ q = 1 . Hence the order of Matrix is 2 \times 1 

Let X = \begin{bmatrix}  x \\ y  \end{bmatrix}

Therefore

\begin{bmatrix}  2 & 1 \\ -3 & 4  \end{bmatrix} . \begin{bmatrix}  x \\ y  \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix}  7  \\ 6   \end{bmatrix}

\begin{bmatrix}  2x+y  \\ -3x+4y  \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix}  7  \\ 6   \end{bmatrix}

Therefore

 2x+y = 7

and -3x+4y = 6

Solving we get x = 2 \ and \ y = 3

Hence X = \begin{bmatrix}  2 \\ 3  \end{bmatrix}

\\

Question 5: Evaluate: \begin{bmatrix}  \cos{45^o} & \sin{30^o} \\ \sqrt{2} \cos{0^o} & \sin{0^o}  \end{bmatrix}. \begin{bmatrix}  \sin{45^o} & \cos{90^o} \\ \sin{90^o} & \cot{45^o}  \end{bmatrix} 

Answer:

\begin{bmatrix}  \cos{45^o} & \sin{30^o} \\ \sqrt{2} \cos{0^o} & \sin{0^o}  \end{bmatrix}. \begin{bmatrix}  \sin{45^o} & \cos{90^o} \\ \sin{90^o} & \cot{45^o}  \end{bmatrix} 

\begin{bmatrix}  \frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{1}{2} \\ \sqrt{2} & 0  \end{bmatrix}. \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0  \end{bmatrix} 

=  \begin{bmatrix}  \frac{1}{2}+\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & 0  \end{bmatrix}

=  \begin{bmatrix}  1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 0  \end{bmatrix}

\\

Question 6: If  A =  \begin{bmatrix}  0 & -1 \\ 4 & -3  \end{bmatrix}   ,  B =  \begin{bmatrix}  -5  \\ 6  \end{bmatrix}  and   3A \times M = 2B , find matrix   M .

Answer:

3A \times M = 2B

A_{2 \times 2} . M_{p \times q} = B_{2 \times 1}

Therefore p = 2 \ and \ q = 1 . Hence the order of Matrix is 2 \times 1 

Let M = \begin{bmatrix}  x \\ y  \end{bmatrix}

 3 \begin{bmatrix}  0 & -1 \\ 4 & -3  \end{bmatrix}. \begin{bmatrix}  x \\ y  \end{bmatrix}= 2  \begin{bmatrix}  -5  \\ 6  \end{bmatrix}

 \begin{bmatrix}  -3y \\ 12x-9y  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}  -10  \\ 12  \end{bmatrix}

Therefore  -3y = -10 \Rightarrow y = \frac{10}{3}

and  12x-9y = 12 \Rightarrow x = \frac{7}{2}

Hence M = \begin{bmatrix} \frac{7}{2} \\ \frac{10}{3} \end{bmatrix}

\\

Question 7:  If \begin{bmatrix}  a & 3 \\ 4 & 1  \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}  2 & b \\ 1 & -2  \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}  1 & 1 \\ -2 & c  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  5 & 0 \\ 7 & 3  \end{bmatrix}   find the value of   a, b \ and c \    .         [1981]

Answer:

\begin{bmatrix}  a & 3 \\ 4 & 1  \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}  2 & b \\ 1 & -2  \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}  1 & 1 \\ -2 & c  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  5 & 0 \\ 7 & 3  \end{bmatrix}  

\begin{bmatrix}  a+2-1 & 3+b-1 \\ 4+1+2 & 1-2-c  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}  5 & 0 \\ 7 & 3  \end{bmatrix}  

\begin{bmatrix}  a+1 & b+2 \\ 7 & -c-1  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}  5 & 0 \\ 7 & 3  \end{bmatrix}  

Therefore

a+1 = 5 \Rightarrow 4  

b+2 = 0 \Rightarrow b = -2  

-c-1=3 \Rightarrow c = -4  

\\

Question 8: If  A =  \begin{bmatrix}  1 & 2 \\ 2 & 1  \end{bmatrix}   , and   B =  \begin{bmatrix}  2 & 1  \\ 1 & 2  \end{bmatrix}  find: i)  A(BA)     ii)  (AB) B.       [1991]

Answer:

i)  A(BA)  

=  \begin{bmatrix}  1 & 2 \\ 2 & 1  \end{bmatrix} [ \begin{bmatrix}  2 & 1  \\ 1 & 2  \end{bmatrix}. \begin{bmatrix}  1 & 2 \\ 2 & 1  \end{bmatrix}]  

=\begin{bmatrix}  1 & 2 \\ 2 & 1  \end{bmatrix}. \begin{bmatrix}  4 & 5 \\ 5 & 4  \end{bmatrix}  

= \begin{bmatrix}  14 & 13 \\ 13 & 14  \end{bmatrix}  

ii) (AB) B  

= (\begin{bmatrix}  1 & 2 \\ 2 & 1  \end{bmatrix} . \begin{bmatrix}  2 & 1  \\ 1 & 2  \end{bmatrix}) . \begin{bmatrix}  2 & 1  \\ 1 & 2  \end{bmatrix}  

= \begin{bmatrix}  4 & 5  \\ 5 & 4  \end{bmatrix} . \begin{bmatrix}  2 & 1  \\ 1 & 2  \end{bmatrix}  

= \begin{bmatrix}  14 & 13 \\ 13 & 14  \end{bmatrix}  

\\

Question 9: Find  x \ and \ y   , if     \begin{bmatrix}  x & 3x \\ y & 4y  \end{bmatrix}. \begin{bmatrix}  2  \\ 1   \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix}  5  \\ 12   \end{bmatrix}       [1992, 2013]

Answer:

 \begin{bmatrix}  x & 3x \\ y & 4y  \end{bmatrix}. \begin{bmatrix}  2  \\ 1   \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix}  5  \\ 12   \end{bmatrix}  

 \begin{bmatrix}  2x + 3x \\ 2y+4y  \end{bmatrix}. =  \begin{bmatrix}  5  \\ 12   \end{bmatrix}  

Therefore

5x=5 \Rightarrow x = 1 

and 6y = 12 \Rightarrow y = 2 

\\

Question 10:  If the matrix  X = \begin{bmatrix}  -3 & 4 \\ 2 & -3  \end{bmatrix}. \begin{bmatrix}  2  \\ -2   \end{bmatrix}       and  2X-3Y=\begin{bmatrix}  10  \\ -8   \end{bmatrix}    . Find the matrix  X \ and \ Y   .

Answer:

X = \begin{bmatrix}  -3 & 4 \\ 2 & -3  \end{bmatrix}. \begin{bmatrix}  2  \\ -2   \end{bmatrix}  

X = \begin{bmatrix}  -14 \\ 10  \end{bmatrix}  

2X-3Y=\begin{bmatrix}  10  \\ -8   \end{bmatrix}  

2\begin{bmatrix}  -14 \\ 10  \end{bmatrix}-3Y=\begin{bmatrix}  10  \\ -8   \end{bmatrix}  

Y = \frac{1}{3} \begin{bmatrix}  -38 \\ 28  \end{bmatrix}  

\\

Question 11: Given A =  \begin{bmatrix}  2 & -1 \\ 2 & 0  \end{bmatrix}   ,   B =  \begin{bmatrix}  -3 & 2  \\ 4 & 0  \end{bmatrix} and C =  \begin{bmatrix}  1 & 0  \\ 0 & 2  \end{bmatrix} ; Find X     such that  A+X=2B+C    .     [2005]

Answer:

 A+X=2B+C   

\begin{bmatrix}  2 & -1 \\ 2 & 0  \end{bmatrix}+X=2\begin{bmatrix}  -3 & 2  \\ 4 & 0  \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}  1 & 0  \\ 0 & 2  \end{bmatrix}    

\begin{bmatrix}  2 & -1 \\ 2 & 0  \end{bmatrix}+X = \begin{bmatrix}  -5 & 4  \\ 8 & 2  \end{bmatrix}     

X = \begin{bmatrix}  -5 & 4  \\ 8 & 2  \end{bmatrix}  - \begin{bmatrix}  2 & -1 \\ 2 & 0  \end{bmatrix}      

X = \begin{bmatrix}  -7 & 5  \\ 6 & 2  \end{bmatrix}    

\\

Question 12: Find the value of x  given that A^2=B ,  A =  \begin{bmatrix}  2 & 12 \\ 0 & 1  \end{bmatrix}   ,   and B =  \begin{bmatrix}  4 & x  \\ 0 & 1  \end{bmatrix} .      [2005]

Answer:

A^2=B

 \begin{bmatrix}  2 & 12 \\ 0 & 1  \end{bmatrix} .  \begin{bmatrix}  2 & 12 \\ 0 & 1  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  4 & x  \\ 0 & 1  \end{bmatrix}

 \begin{bmatrix}  4 & 36 \\ 0 & 1  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}  4 & x  \\ 0 & 1  \end{bmatrix}

Therefore x = 36

\\

Question 13: If A =  \begin{bmatrix}  2 & 5 \\ 1 & 3  \end{bmatrix}   ,   and B =  \begin{bmatrix}  4 & -2  \\ -1 & 3  \end{bmatrix} and I     matrix of the same order and A^t    is the transpose of the matrix, find A^t.B+BI    .     [2011]

Answer:

A =  \begin{bmatrix}  2 & 5 \\ 1 & 3  \end{bmatrix}  

A^t =  \begin{bmatrix}  2 & 1 \\ 5 & 3  \end{bmatrix}  

A^t.B+BI   

= \begin{bmatrix}  2 & 1 \\ 5 & 3  \end{bmatrix} .  \begin{bmatrix}  4 & -2  \\ -1 & 3  \end{bmatrix}+  \begin{bmatrix}  4 & -2  \\ -1 & 3  \end{bmatrix} . \begin{bmatrix}  1 & 0 \\ 0 & 1  \end{bmatrix}   

= \begin{bmatrix}  7 & -1 \\ 17 & -1  \end{bmatrix} +  \begin{bmatrix}  4 & -2  \\ -1 & 3  \end{bmatrix}   

= \begin{bmatrix}  11 & -3  \\ 16 & 2  \end{bmatrix}   

\\

Question 14: Given  A =  \begin{bmatrix}  2 & -6 \\ 2 & 0  \end{bmatrix}   ,   B =  \begin{bmatrix}  -3 & 2  \\ 4 & 0  \end{bmatrix} and C =  \begin{bmatrix}  4 & 0  \\ 0 & 2  \end{bmatrix} ; Find the matrix  X   such that  A+2X=2B+C   .     [2013]

Answer:

A+2X=2B+C  

\begin{bmatrix}  2 & -6 \\ 2 & 0  \end{bmatrix}+2X=2\begin{bmatrix}  -3 & 2  \\ 4 & 0  \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}  4 & 0  \\ 0 & 2  \end{bmatrix}  

\begin{bmatrix}  2 & -6 \\ 2 & 0  \end{bmatrix}+2X= \begin{bmatrix}  -6 & 4  \\ 8 & 0  \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}  4 & 0  \\ 0 & 2  \end{bmatrix}  

\begin{bmatrix}  2 & -6 \\ 2 & 0  \end{bmatrix}+2X= \begin{bmatrix}  -2 & 4  \\ 8 & 2  \end{bmatrix}  

2X= \begin{bmatrix}  -2 & 4  \\ 8 & 2  \end{bmatrix} -\begin{bmatrix}  2 & -6 \\ 2 & 0  \end{bmatrix} 

X= \frac{1}{2} \begin{bmatrix}  -4 & 10  \\ 6 & 2  \end{bmatrix}

X= \begin{bmatrix}  -2 & 5  \\ 3 & 1  \end{bmatrix}

\\

Question 15: Let A =  \begin{bmatrix}  4 & -2 \\ 6 & -3  \end{bmatrix}   ,   B =  \begin{bmatrix}  0 & 2  \\ 1 & -1  \end{bmatrix} and C =  \begin{bmatrix}  -2 & 3  \\ 1 & -1  \end{bmatrix} . Find A^2-A+BC       [2006]

Answer:

A^2-A+BC  

= \begin{bmatrix}  4 & -2 \\ 6 & -3  \end{bmatrix}.\begin{bmatrix}  4 & -2 \\ 6 & -3  \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}  4 & -2 \\ 6 & -3  \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}  0 & 2  \\ 1 & -1  \end{bmatrix}. \begin{bmatrix}  -2 & 3  \\ 1 & -1  \end{bmatrix}  

= \begin{bmatrix}  4 & -2 \\ 6 & 3  \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}  4 & -2 \\ 6 & -3  \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}  2 & -2 \\ -4 & 4  \end{bmatrix}  

= \begin{bmatrix}  2 & -2 \\ -1 & 11  \end{bmatrix} 

\\

Question 16: Let A =  \begin{bmatrix}  1 & 0 \\ 2 & 1  \end{bmatrix}   ,   B =  \begin{bmatrix}  2 & 3  \\ -1 & 0  \end{bmatrix} . Find A^2+AB+B^2       [2007]

Answer:

A^2+AB+B^2  

=\begin{bmatrix}  1 & 0 \\ 2 & 1  \end{bmatrix}.\begin{bmatrix}  1 & 0 \\ 2 & 1  \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}  1 & 0 \\ 2 & 1  \end{bmatrix}.\begin{bmatrix}  2 & 3  \\ -1 & 0  \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}  2 & 3  \\ -1 & 0  \end{bmatrix}.\begin{bmatrix}  2 & 3  \\ -1 & 0  \end{bmatrix}  

=\begin{bmatrix}  1 & 0 \\ 4 & 1  \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}  2 & 3 \\ 3 & 6  \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}  1 & 6 \\ -2 & -3  \end{bmatrix}  

=\begin{bmatrix}  4 & 9 \\ 5 & 4  \end{bmatrix}  

\\

Question 17: If A =  \begin{bmatrix}  3 & a \\ -4 & 8  \end{bmatrix}   ,   B =  \begin{bmatrix}  c & 4  \\ -3 & 0  \end{bmatrix} and C =  \begin{bmatrix}  -1 & 4  \\ 3 & b  \end{bmatrix} and 3A-2C=6B   , find the value of a, b, \ and \ c   .

Answer:

3A-2C=6B  

3\begin{bmatrix}  3 & a \\ -4 & 8  \end{bmatrix} -2\begin{bmatrix}  -1 & 4  \\ 3 & b  \end{bmatrix}=6\begin{bmatrix}  c & 4  \\ -3 & 0  \end{bmatrix}  

\begin{bmatrix}  9 & 3a \\ -12 & 24  \end{bmatrix} -\begin{bmatrix}  -2 & 8  \\ 6 & 2b  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  6c & 24  \\ -18 & 0  \end{bmatrix}  

\begin{bmatrix}  11 & 3a-8 \\ -18 & 24-2b  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}  6c & 24  \\ -18 & 0  \end{bmatrix}  

Therefore

6c=11 \Rightarrow c = \frac{11}{6} 

3a-8 = 24 \Rightarrow a = \frac{32}{3} 

24-2b=0 \Rightarrow b = 12 

\\

Question 18: Given A =  \begin{bmatrix}  p & 0 \\ 0 & 2  \end{bmatrix}   ,   B =  \begin{bmatrix}  0 & -q  \\ 1 & 0  \end{bmatrix} and C =  \begin{bmatrix}  2 & -2  \\ 2 & 2  \end{bmatrix} and BA=C^2   . FInd the value of p \ and \ q   .     [2008]

Answer:

BA=C^2  

\begin{bmatrix}  0 & -q  \\ 1 & 0  \end{bmatrix}.\begin{bmatrix}  p & 0 \\ 0 & 2  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  2 & -2  \\ 2 & 2  \end{bmatrix} .\begin{bmatrix}  2 & -2  \\ 2 & 2  \end{bmatrix}  

\begin{bmatrix}  0 & -2q  \\ p & 0  \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix}  0 & -8  \\ 8 & 0  \end{bmatrix}  

Therefore

-2q = -8  \Rightarrow q = 4   

and p = 8   

\\

Question 19: Given A =  \begin{bmatrix}  3 & -2 \\ -1 & 4  \end{bmatrix}   ,   B =  \begin{bmatrix}  6   \\ 1  \end{bmatrix} , C =  \begin{bmatrix}  -4   \\ 5  \end{bmatrix}  and D =  \begin{bmatrix}  2  \\ 2  \end{bmatrix} . Find AB+2C-4D   .     [2010]

Answer:

AB+2C-4D  

 = \begin{bmatrix}  3 & -2 \\ -1 & 4  \end{bmatrix}. \begin{bmatrix}  6   \\ 1  \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix}  -4   \\ 5  \end{bmatrix} - 4 \begin{bmatrix}  2  \\ 2  \end{bmatrix}  

 = \begin{bmatrix}  16   \\ -2  \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}  -8   \\ 10  \end{bmatrix}- \begin{bmatrix}  8  \\ 8  \end{bmatrix}  

 = \begin{bmatrix}  0   \\ 0  \end{bmatrix}  

\\

Question 20: Evaluate  \begin{bmatrix} 4\sin{30^o} & 2\cos{60^o} \\ \sin{90^o} & 2\cos{0^o}  \end{bmatrix} . \begin{bmatrix}  4 & 5 \\ 5 & 4  \end{bmatrix}      [2010]

Answer:

\begin{bmatrix} 4\sin{30^o} & 2\cos{60^o} \\ \sin{90^o} & 2\cos{0^o}  \end{bmatrix} . \begin{bmatrix}  4 & 5 \\ 5 & 4  \end{bmatrix} 

= \begin{bmatrix}  2 & 1 \\ 1 & 2  \end{bmatrix}.  \begin{bmatrix}  4 & 5 \\ 5 & 4  \end{bmatrix}  

= \begin{bmatrix}  13 & 14 \\ 14 & 13  \end{bmatrix}  

\\

Question 21: If A =  \begin{bmatrix}  3 & 1 \\ -1 & 2  \end{bmatrix}   ,   I=  \begin{bmatrix}  1 & 0   \\ 0 & 1  \end{bmatrix} , find A^2-5A+7I   .     [2012]

Answer:

A^2-5A+7I  

= \begin{bmatrix}  3 & 1 \\ -1 & 2  \end{bmatrix}.\begin{bmatrix}  3 & 1 \\ -1 & 2  \end{bmatrix}-5\begin{bmatrix}  3 & 1 \\ -1 & 2  \end{bmatrix}+7\begin{bmatrix}  1 & 0 \\ 0 & 1  \end{bmatrix}  

 = \begin{bmatrix}  8 & 5 \\ -5 & 3  \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}  15 & 5 \\ -5 & 10  \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}  7 & 0 \\ 0 & 7  \end{bmatrix}  

= \begin{bmatrix}  0 & 0 \\ 0 & 0  \end{bmatrix}  

\\

Click Here: Books for ICSE Class 10 Board Exams

Advertisements