Click Here (Amazon): Books for ICSE Class 10 Board Exams

Question 1: Using the factor show that:

i) (x-2) is a factor of x^3-2x^2-9x+18 . Hence factorise the polynomial  x^3-2x^2-9x+18 .

ii) (x+5)  is a factor of 2x^3+5x^2-28x-15  . Hence factorise the polynomial  2x^3+5x^2-28x-15   .

iii) (3x+2)   is a factor of 3x^3+2x^2-3x-2   . Hence factorise the polynomial 3x^3+2x^2-3x-2 .

iv) (2x+7)   is a factor of  2x^3+5x^2-11x-14   . Hence factorise the polynomial   2x^3+5x^2-11x-14  .

Answer:

i) Since x -2 = 0 \Rightarrow x = 2 

Remainder = (2)^3-2(2)^2-9(2)+18 = 8-8-18+18=0 

Therefore \Rightarrow  (x-2) is a factor of x^3-2x^2-9x+18 .

Dividing x^3-2x^2-9x+18 by  (x-2)

  • x-2 ) \overline {x^3-2x^2-9x+18} (x^2-9
  •  (-) \ \  \underline {x^3-2x^2}  
  •                           -9x+18
  •                  (-) \ \   \underline{-9x+18 }
  •                                  \times

Therefore x^3-2x^2-9x+18 = (x-2)(x^2-9)=(x-2)(x-3)(x+3)

\\

ii) Since x +5 = 0 \Rightarrow x = -5

Remainder =2(-5)^3+5(-5)^2-28(-5)-15 = -250+125+140-15=0 

Therefore \Rightarrow  (x+5) is a factor of 2x^3+5x^2-28x-15 .

Dividing 2x^3+5x^2-28x-15 by  (x+5)

  • x+5 ) \overline {2x^3+5x^2-28x-15} (2x^2-5x-3
  •  (-) \ \  \underline {2x^3+10x^2}  
  •                           -5x^2-28x-15
  •                  (-) \ \   \underline{-5x^2-25x}
  •                                       -3x-15
  •                               (-) \ \   \underline{ -3x-15}
  •                                          \times

2x^3+5x^2-28x-15 

= (x+5)(2x^2-5x-3) 

= (x+5)(2x^2-6x+x-3) 

=(x+5)[2x(x-3)+(x-3)] 

= (x+5)(x-3)(2x+1) 

Hence 2x^3+5x^2-28x-15 =(x+5)(x-3)(2x+1) 

\\

iii) Since x =-\frac{2}{3} 

Remainder = 3(-\frac{2}{3})^3+2(-\frac{2}{3})^2-3(-\frac{2}{3})-2 = -\frac{8}{9}+\frac{8}{9}+2-2 = 0 

Therefore (3x+2)  is a factor of  3x^3+2x^2-3x-2 

Dividing  3x^3+2x^2-3x-2  by  (3x+2) 

  • 3x+2 ) \overline {3x^3+2x^2-3x-2} (x^2-1
  •   (-) \ \  \underline {3x^3+2x^2}  
  •                               -3x-2
  •                      (-) \ \   \underline{-3x-2 }
  •                                       \times

 3x^3+2x^2-3x-2 = (3x+2)(x^2-1) = (3x+2)(x-1)(x+1) 

Hence 3x^3+2x^2-3x-2= (3x+2)(x-1)(x+1) 

\\

iv) Since x = -\frac{7}{2} 

Remainder = 2(-\frac{7}{2})^3+5(-\frac{7}{2})^2-11(-\frac{7}{2})-14 

= -\frac{343}{4}+\frac{245}{4}+\frac{77}{2}-14= \frac{-343+245+154-56}{4}=0 

Therefore (2x+7)   is a factor of  2x^3+5x^2-11x-14  

Dividing 2x^3+5x^2-11x-14   by  (2x+7)  

  • 2x+7 ) \overline {2x^3+5x^2-11x-14} (x^2-x-2
  •  (-) \ \  \underline {2x^3+7x^2}  
  •                           -2x^2-11x-14
  •                  (-) \ \   \underline{-2x^2-7x}
  •                                      -4x-14
  •                              (-) \ \   \underline{ -2x-14}
  •                                              \times

2x^3+5x^2-11x-14 = (2x+7)(x^2-x-2) 

= (2x+7)(x^2-2x+x-2) 

=(2x+7)[x(x-2)+(x-2)] 

= (2x+7)(x-2)(x+1) 

Hence 2x^3+5x^2-11x-14 = (2x+7)(x-2)(x+1) 

\\

Question 2: Factorise using factor theorem:

i) 3x^3+2x^2-19x+6     [2012]

ii) 2x^3+x^2-13x+6 

iii) 3x^3+2x^2-23x-30 

iv) 4x^3+7x^2-36x-63 

v) x^3+x^2-4x-4      [2004]

vi) 2x^3-7x^2-3x+18 

vii) 3x^3+10x^2+x-6 

Answer:

i) 3x^3+2x^2-19x+6 

For x = 2 ,

Expression: = 3(2)^3+2(2)^2-19(2)+6 = 24+8-38+6=0 

Hence (x-2)  is a factor of  3x^3+2x^2-19x+6 

  • x-2 ) \overline {3x^3+2x^2-19x+6} (3x^2+8x-3
  •  (-) \ \  \underline {3x^3-6x^2}  
  •                           8x^2-19x+6
  •                  (-) \ \   \underline{8x^2-16x}
  •                                      -3x+6
  •                              (-) \ \   \underline{ -3x+6}
  •                                              \times

3x^3+2x^2-19x+6 = (x-2)(3x^2+8x-3) 

= (x-2)(3x^2+9x-x-3) 

=(x-2)[3x(x+3)-(x+3)] 

= (x-2)(x+3)(3x-1) 

Hence 3x^3+2x^2-19x+6= (x-2)(x+3)(3x-1) 

\\

ii) 2x^3+x^2-13x+6 

For x = 2 ,

Expression: = 2(2)^3+(2)^2-13(2)+6 = 16+4-26+6 = 0  

Hence  (x-2)  is a factor of  2x^3+x^2-13x+6  

  • x-2 ) \overline {2x^3+x^2-13x+6} (2x^2+5x-3
  •  (-) \ \  \underline {2x^3-4x^2}  
  •                           5x^2-13x+6
  •                  (-) \ \   \underline{5x^2-10x}
  •                                      -3x+6
  •                              (-) \ \   \underline{ -3x+6}
  •                                              \times

2x^3+x^2-13x+6 = (x-2)(2x^2+6x-x-3) 

= (x-2)(2x^2+6x-x-3) 

= (x-2)[2x(x+3)-(x+3)] 

=(x-2)(x+3)(2x-1) 

Hence 2x^3+x^2-13x+6=(x-2)(x+3)(2x-1) 

\\

iii) 3x^3+2x^2-23x-30 

For x = -2 ,

Expression: 3(-2)^3+2(-2)^2-23(-2)-30 = -24+8+46-30=0 

Therefore (x+2)  is a factor of 3x^3+2x^2-23x-30 

  • x+2 ) \overline {3x^3+2x^2-23x-30} (3x^2-4x-15
  •  (-) \ \  \underline {3x^3+6x^2}  
  •                        -4x^2-23x-30
  •               (-) \ \   \underline{-4x^2-8x}
  •                                   -15x-30
  •                           (-) \ \   \underline{ -15x-30}
  •                                              \times

x^3+2x^2-23x-30 = (x+2)(3x^2-4x-15) 

= (x+2)(3x^2-9x+5x-15) 

= (x+2)[3x(x-3)+5(x-3)] 

=(x+2)(3x+5)(x-3) 

Hence 3x^3+2x^2-23x-30=(x+2)(3x+5)(x-3) 

\\

iv) 4x^3+7x^2-36x-63 

For x = -3 ,

Expression: 4(-3)^3+7(-3)^2-36(-3)-63 = -108+63+108-63 = 0

Therefore (x+3)  is a factor of 4x^3+7x^2-36x-63

  • x+3 ) \overline {4x^3+7x^2-36x-63} (4x^2-5x-21
  •  (-) \ \  \underline {4x^3+12x^2}  
  •                        -5x^2-36x-63
  •               (-) \ \   \underline{-5x^2-15x}
  •                                   -21x-63
  •                           (-) \ \   \underline{ -21x-63}
  •                                              \times

4x^3+7x^2-36x-63 = (x+3)(4x^2-5x-21)

= (x+3)(4x^2-5x-21)

= (x+3)[4x(x-3)+7(x-3)]

= (x+3)(x-3)(4x+7)

Hence 4x^3+7x^2-36x-63 = (x+3)(x-3)(4x+7)

\\

v) x^3+x^2-4x-4   

For x = -1 

Expression: (-1)^3+(-1)^2-4(-1)-4 = -1+1+4-4 = 0

Therefore (x+1)  is a factor of x^3+x^2-4x-4

  • x+1 ) \overline {x^3+x^2-4x-4} (x^2-4
  •   (-) \ \  \underline {x^3+x^2}  
  •                          -4x-4
  •                 (-) \ \   \underline{-4x-4 }
  •                                       \times

x^3+x^2-4x-4 = (x+1)(x^2-4)

= (x+1)(x-2)(x+2)

Hence x^3+x^2-4x-4= (x+1)(x-2)(x+2)

\\

vi) 2x^3-7x^2-3x+18 

For x = 2 

Expression: 2(2)^3-7(2)^2-3(2)+18 = 16-28-6+18= 0

Therefore (x-2)  is a factor of 2x^3-7x^2-3x+18

  • x-2 ) \overline {2x^3-7x^2-3x+18} (2x^2-3x-9
  •  (-) \ \  \underline {2x^3-4x^2}  
  •                        -3x^2-3x+18
  •               (-) \ \   \underline{-3x^2+6x}
  •                                   -9x+18
  •                           (-) \ \   \underline{ -9x+18}
  •                                              \times

2x^3-7x^2-3x+18 = (x-2)(2x^2-3x-9)

= (x-2)(2x^2-6x+3x-9)

= (x-2)[2x(x-3)+3(x-3)]

= (x-2)(x-3)(2x+3)

Hence 2x^3-7x^2-3x+18= (x-2)(x-3)(2x+3)

\\

vii) 3x^3+10x^2+x-6 

For x = -1

Expression: 3(-1)^3+10(-1)^2+(-1)-6= -31=10-1-6= 0

Therefore (x+1)  is a factor of 3x^3+10x^2+x-6

  • x+1 ) \overline {3x^3+10x^2+x-6} (3x^2+7x-6
  •  (-) \ \  \underline {3x^3+3x^2}  
  •                        7x^2+x-6
  •               (-) \ \   \underline{7x^2+7x}
  •                                   -6x-6
  •                           (-) \ \   \underline{ -6x-6}
  •                                              \times

3x^3+10x^2+x-6 = (x+1)(3x^2+7x-6)

= (x+1)(3x^2+9x-2x-6)

= (x+1)[3x(3x+3)-2(x+3)]

= (x+1)(3x+3)(3x-2)

Hence 3x^3+10x^2+x-6= (x+1)(3x+3)(3x-2)

\\

Question 3: If (x-2)  and (x+1)  are factors of  x^3+3x^2+ax+b  , calculate the values of  a \ and \ b  . Then factorise.

Answer:

When x = 2 

f(x)=(2)^3+3(2)^2+a(2)+b \Rightarrow = 2a+b=-20  … … … … … i)

When x = -1 

f(x) =(-1)^3+3(-1)^2+a(-1)+b \Rightarrow a-b=2   … … … … … ii)

Solving i) and ii) we get a = -6 \ and \ b = -8 

\\

Question 4: When  4x^3-bx^2+x-c  is divided by  (x+1)  and  (2x-3)  the remainder left is  0 \ and \ 30  respectively. Calculate the values of  a \ and \ b   and then factorise the given polynomial.

Answer:

When x =-1 , Remainder  = 0 

Therefore 4(-1)^3-b(-1)^2+(-1)-c=0 \Rightarrow b+c=-5   … … … … … i)

When x = \frac{3}{2}, Remainder = 30 &s=0$

Therefore  4(\frac{3}{2})^3-b(\frac{3}{2})^2+(\frac{3}{2})-c=0 \Rightarrow 9b+4c=-60   … … … … … i)

Solving i) and ii) we get b = -8 \ and \ b = 3

\\

Question 5: If  (x+a)  is a common factor  of expressions  f(x)=x^2+px+q  and  g(x)=x^2+mx+n  ; show that  a = \frac{n-q}{m-p} 

Answer:

When x =-a , Remainder  = 0 

Therefore f(x)=(-a)^2+p(-a)+q=0 \Rightarrow a^2-pa+q= 0 \Rightarrow a^2=pa-q    … … … … … i)

Therefore x(x)=(-a)^2+m(-a)+n=0 \Rightarrow a^2-ma+n= 0 \Rightarrow a^2=ma-n    … … … … … ii)

From i) and ii)

pa-q=ma-n \Rightarrow a = \frac{n-q}{m-p} 

\\

Question 6: When ax^3+3x^2-3  and  2x^3-5x+a  are divided by  (x-4)  , the remainder is the same. Find the value of  a  .

Answer:

When x = 4 

Remainder1 = a(4)^3+3(4)^2-3  = 64a+45

Remainder2  = 2(4)^3-5(4)+a = 108+a

Now Remainder1 = Remainder2

64a+45=108+a \Rightarrow a = 1

\\

Question 7: Find the value of  a  , if  (x-a)  is a factor of  x^3-ax^2+x+2 .     [2003]

Answer:

When x = a , Remainder  = 0 

Therefore  (a)^3-a(a)^2+(a)+2 =0 

\Rightarrow a^3-a^3+a+2=0 

\Rightarrow a = 2 

\\

Question 8: What number should be subtracted from  3x^3+x^2-22x+15  , so that  (x+3)  is a factor of the given polynomial.

Answer:

Let a be subtracted from the polynomial.

When x = -3  , Remainder = 0 

Therefore  3x^3+x^2-22x+15-a = 0 

\Rightarrow 3(-3)^3+(-3)^2-22(-3)+15-a = 0 

\Rightarrow -81+90-a=0 

\Rightarrow a = 9 

\\

Click Here (Amazon): Books for ICSE Class 10 Board Exams

Advertisements